Stability of Curvature Measures

We address the problem of curvature estimation from sampled compact sets. The main contribution is a stability result: we show that the gaussian, mean or anisotropic curvature measures of the offset of a compact set K with positive μ-reach can be estimated by the same curvature measures of the offset of a compact set K’ close to K in the Hausdorff sense. We show how these curvature measures can be computed for finite unions of balls. The curvature measures of the offset of a compact set with positive μ-reach can thus be approximated by the curvature measures of the offset of a point-cloud sample. These results can also be interpreted as a framework for an effective and robust notion of curvature. Key-words: curvature measures, normal cycle, geometric inference, μ-reach, distance function, point-cloud ∗ INRIA Saclay, Parc Club Orsay Université, 2-4, rue Jacques Monod, 91893 Orsay Cedex France, [email protected] † INRIA, BP 93, 06902 Sophia Antipolis, France , [email protected] ‡ Université de Grenoble & CNRS, Laboratoire Jean Kuntzmann, Grenoble, France § Université de Grenoble & CNRS, Laboratoire Jean Kuntzmann, Grenoble, France, [email protected] Stabilité des Mesures de Courbures Résumé : Ce travail étudie l’estimation de la courbure d’ensembles compacts échantillonnés. Nous montrons que les mesures de courbures moyenne, de Gauss et anisotropes des offsets d’un compactK suffisamment “régulier”, i.e. à μ-reach strictement positif, sont stables : elles peuvent être estimées par les mesures de courbures des offsets de tout compact K ′ suffisamment proche de K pour la distance de Hausdorff. Nous explicitons le calcul de ces mesures de courbures dans le cas ou K ′ est un nuage de points dans R. Ces résultats fournissent en particulier un cadre permettant de définir formellement des notions de courbures robustes pouvant être effectivement calculées. Mots-clés : mesures de courbure, cycle normal, inférence géométrique, μreach, fonction distance, nuage de points Stability of Curvature Measures 3